Hilbert space - Complete orthonormal sets of functions

1. Function space and Hilbert space

원소들이 함수인 벡터공간을 정의할 것이다. 이 공간의 원소들은 [a,b] 구간에서 정의된 실수변수 x의 square integrable(제곱적분가능)한 complex-valued 함수들이다. 제곱적분가능한 함수들의 집합은 벡터공간을 형성함을 보일 것이다. 이 공간은 수학자들에게 $L_2$ 공간이라고 불린다. 우리는 단순히 '함수공간'이라고 칭하도록 하자. 이 공간의 차원은 무한대이다.

 

 함수공간의 두 벡터 $f_{1}, f_{2}$의 합은 다음과 같이 자연스럽게 정의한다:

$(f_1+f_2)(x):=f_1(x)+f_2(x),$

그리고 복소수 스칼라 $\alpha$를 곱한 것은

$(\alpha f)(x):=\alpha f(x)$ 로 정의한다.

 

제곱적분가능한 함수들끼리의 덧셈과 스칼라곱 또한 제곱적분가능할까? 만약 가능하다면 벡터공간의 나머지 공리들을 만족하는 것을 보이는 것은 쉽다.

 

closure of the sum:

$|f_1+f_2|^2=|f_1|^2+|f_2|^2+f_1^*f_2+f_1f_2^*$

$=|f_1|^2+|f_2|^2+2\mathrm{Re}(f_1^*f_2)$

$\leq |f_1|^2+|f_2|^2+2|f_1^*f_2|$

$\leq |f_1|^2+|f_2|^2+2|f_1||f_2|.$

또한,

$0\leq(|f_1|-|f_2|)^2=|f_1|^2+|f_2|^2-2|f_1||f_2|,$

따라서

$|f_1|^2+|f_2|^2\geq2|f_1||f_2|.$

이 마지막 부등식을 위 부등식에 대입하면 

구간 [a,b]의 모든 점들에서 성립하는 부등식 $|f_1+f_2|^2\leq2(|f_1|^2+|f_2|^2)$ 를 얻는다.

이 부등식의 양변을 적분함으로써 $f_1, f_2$ 의 제곱적분가능성이 $f_1+f_2$의 제곱적분가능성을 보장한다는 것을 알 수 있다.

 

 Definition 1. 함수공간에 속하는 두 함수 $f_1$과 $f_2$의 내적은

$(f_1, f_2):=\int_a^b f_1^*(x)f_2(x)dx$ 으로 정의한다.

제곱적분가능성은 $(f, f):=||f||= \int_a^b|f|^2dx < \infty$ 를 의미한다는 것에 주목하자.

 

$|f_1^*f_2|=|f_1||f_2|\leq\frac{1}{2}(|f_1|^2+|f_2|^2)$ 이므로 $|f_1^*f_2|=|f_1||f_2|\leq\frac{1}{2}(|f_1|^2+|f_2|^2)$ 이기 때문에 제곱적분가능한 함수들의 어떤 순서쌍에 대해서도 내적이 항상 존재한다.

 

positive-definiteness

$(f, f):=||f||= \int_a^b|f|^2dx \geq 0$는 분명하다. 그런데 $(f, f)=0$ 은 $f(x)=0$ $\forall x$ in [a,b]를 의미할까? 즉, 위에서 정의한 내적의 정의가 내적의 공리들을 만족할까?

사실 일반적으로 함수 $f(x)$는 유한한 점들에서 0이 아닌 값을 가지면서 적분값이 0일 수 있다. 이런 류의 논의들은 더 일반적인 적분의 개념을 도입하면 더 수월해진다.

 우선 Riemann integral의 경우 여러가지 난항을 겪는다. 예를 들어 [0,1]의 구간에서 정의된, 유리수에서는 함수값이 1이고 무리수에서는 함수값이 0인 함수를 생각해보자(Dirichlet funtion). [0,1]를 작은 조각 $\Delta x_i$로 나눠서 다음과 같이 정의된 upper and lower Riemann integrals를 구해보자:

 

$\overline{\int} f(x)dx=\sum_i\Delta x_i \max{[f(x)]}, \quad x_i\leq x\leq x_i+\Delta x_i$
$\underline{\int} f(x)dx=\sum_i\Delta x_i \min{[f(x)]}, \quad x_i\leq x\leq x_i+\Delta x_i$

 

subinterval $\Delta x_i$를 어떻게 자르던지 무조건 최댓값은 1이고 최솟값은 0이기 때문에 

$\overline{\int} f(x)dx=1$ and $\underline{\int} f(x)dx=0$ 이고, 따라서 Riemann integral은 존재하지 않는다.

 

 Lebesgue integration의 이론에서는 이 적분값은 존재하고, 0이다. 이 경우 measure zero인 점들의 집합을 제외한 곳에서 $f(x)=0$이라고 하거나 단순히 $f(x)=0$ almost everywhere(zero function이라고 부른다.)라고 한다. 직관적으로 생각해보자. 만약 실수축 위에countable한 개수의 점들이 있고 길이 $\epsilon$ 의 작은 띠가 주어진다면, 이 주어진 띠를 폭이 $\epsilon/2^n$인 작은 조각들로 나눠서 집합의 각 원소들을 덮을 수 있다. $\sum_{n=1}^\infty \frac{\epsilon}{2^n}=\epsilon$ 이므로 주어진 띠 만으로도 작업을 완수할 수 있다. 하지만 주어진 띠의 폭 $\epsilon$ 는 임의적으로 작게 만들 수 있으므로 $f(x)$ 가 0 이 아닌 점들의 집합은 모든 실수는 어떤 유리수와 arbitrarily close인 사실에도 불구하고 $f(x)=0$ 인 점들의 집합에 비해서 무시가능하다. 따라서 유리수집합은 실수축에서 measure zero인 집합이다. 

 닫힌 구간에서 정의된 piecewise continuous functions의 class에 대해서 Riemann integral은 항상 존재한다. 그리고 언제나 Riemann integral은 (존재한다면) Lebesgue integral과 같다. 

 결론: 위에서 정의한 내적의 정의는 (확장된 zero function의 의미에서) 내적의 공리들을 만족한다.

 

 물리학자들에게 유용하려면 내적공간은 반드시 complete 해야한다. Complete space란 극한값이 space 바깥에 있는, space의 원소들로 이루어진 Cauchy sequence가 존재하지 않는 것이다.

(Cauchy sequence란 주어진 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, m, n이 $N(\epsilon)$ 보다 크면 $||s_n-s_m||<\epsilon$을 만족하는 index $N(\epsilon)$이 존재하는 수열 ${s_n}$ 이다. )

Incomplete space의 한 예시는 유리수집합이다. 부분합 $S_N=\sum_{n=0}^N 1/n!$ 은 유리수수열이지만, 무리수인 e에 수렴한다.

 이와 유사하게 a class of functions가 complete한지 알아보고싶다.

 

 Riesz-Fischer Theorem. 함수 $f_1(x), f_2(x), ...$를 함수공간의 원소들이라고 하자. 만약

$\lim_{n,m\rightarrow\infty}||f_n-f_m||^2:=\lim_{n,m\rightarrow\infty}\int_a^b|f_n(x)-f_m(x)|^2dx=0$ 이면,

수열 $f_n(x)$이 평균수렴하는 square (Lebesgue) integrable function $f(x)$ 가 존재한다. 즉, 

$\lim_{n \rightarrow\infty}\int_a^b|f(x)-f_n(x)|^2dx=0$ 인 $f$ 가 존재한다.

(증명은 Riesz and Nagy, Rudin 책에서 찾아볼 수 있다.)

 

이러한 square integrable complete inner-product space를 Hilbert space라고 한다.

 

orthonormality

$(f_i,f_j):=\int_a^bf_i^*(x)f_j(x)dx=\delta_{ij}$ 인 함수들의 집합 ${f_i}$ 를 orthonormal이라고 한다.

 

 Definition 2. 함수들의 집합 {${f_n}$}은  

$(f_n,f_m):=\int_a^bf_n^*(x)f_m(x)w(x)dx=\delta_{nm}$ 이면

[a,b]에서 정의된 음이 아닌 weight function $w(x)$에 대해 orthonormal하다고 한다.

 

2. Complete orthonormal sets of functions

Completeness of an orthonormal set of functions in Hilbert space를 정의하자.

Hilbert space 안의 임의의 함수 $f(x)$를 an orthonormal set of functions {${f_i(x)}$}의 선형결합($f(x)=\sum_{i=1}^\infty c_i f_i(x)$이고, 이 급수가 모든 x에서 f로 수렴)으로 나타낼 수 있다면 이 orthonormal 집합을 complete 하다고 정의 할 수도 있겠지만 이러면 complete orthonormal set of functions in Hilbert space는 존재하지 않게된다. 따라서 strict pointwise convergence보다는 좀 더 약한 수렴 조건을 줄 필요가 있다.

이에 대한 힌트는 이전 절에서 다룬 내적의 positive-definiteness에서 얻을 수 있다. 거기서

$(f,f)=\int_a^b|f|^2dx=0$ 를 얻었었는데, 이것은 $f(x)$ 가 [a,b] 안의 모든 x에 대해서 0인 것은 아니라는 것을 의미했었다. 구체적으로는 measure zero인 점들의 집합을 제외한 곳에서는 0이었다. 이와 유사하게 만약

$\lim_{n \rightarrow \infty} \int_a^b|f(x)-\sum_i^n c_i f_i(x)|^2dx=0$ 이면

$\sum_i c_i f_i(x)$는 $f(x)$에 '평균적으로 수렴'한다고 할 수 있다. 이것은 급수를 $f(x)$와 measure zero인 집합만큼 차이나게 해줄 수 있다.

 completeness of an orthonormal set of functions의 개념에 대해 더 세부적으로 진행하려면 앞으로 사용할 여러가지의 수렴성을 먼저 정의할 필요가 있다:

1. Pointwise convergence;

2. Uniform convergence;

3. Convergence in the mean;

 

 Definition 3. 함수열 $h_n(x)$는 만약 $\forall x \in [a,b]$ & $\forall \epsilon >0$, $\exists$ $N(x,\epsilon)\in\mathbb{Z}$ s.t for $n>N$, $|h(x)-h_n(x)|<\epsilon$ 이면 [a,b]에서 $h(x)$에 pointwise converge한다고 말한다.

$h_n(x)$는 다른 수열의 부분합일 수 있다; 즉, $h_n(x)=\sum_{i=1}^nk_i(x)$ 일 수 있다.

 

Pointwise convergence와 다른 타입의 convergence는 모두 무한급수 $\sum_{i=1}^\infty k_i(x)$-limit of the sequence $h_n(x)$-의 항들로 동등하게 서술될 수 있다:

 만약 $\forall x \in [a,b] \ and \ \forall \epsilon >0, \exists N(x,\epsilon)\in\mathbb{Z}\ s.t\ for \ n>N$,

$|h(x)-h_n(x)|=|h(x)-\sum_{i=1}^n k_i(x)|<\epsilon$ 이면 급수 $\sum_{i=1}^nk_i(x)$가 [a,b]에서 $h(x)$에 pointwise converge한다고 말한다. 만약 위의 정의에서 $\forall x \in [a,b]$에 통하는 하나의 $N$이 존재한다면 convergence가 uniform 한다고 말한다. 구체적으로는:

 Definition 4. 함수열 $h_n(x)$는 만약 $\forall x \in [a,b]$ & $\forall \epsilon >0$, $\exists$ $N(\epsilon)$, independent of x, s.t for $n>N$, $|h(x)-h_n(x)|<\epsilon, \forall x \in [a,b]$ 이면 [a,b]에서 $h(x)$에 uniformly converge한다고 말한다. 분명히 어떤 수열의 uniform convergence는 pointwise convergence를 의미한다.

 위 정의에서는 수열의 극한인 $h(x)$를 구체적으로 명시했는데, 때때로 극한값이 무엇인지 명시하고 싶지 않을 때가 있을 수 있다. Uniform convergence에 대한 Cauchy's criterion은 이를 위한 위 정의의 유용한 대체제이다:

Theorem 1. 함수열 $h_n(x)$는 만약 $\forall \epsilon$, $\exists N(\epsilon)\in\mathbb{Z}$ s.t $\forall r>N,\ s>N\ and \ x\in [a,b],\ |h_r(x)-h_s(x)|>\epsilon$ 이면 [a,b]에서 $h(x)$에 uniformly converge한다고 말한다. 

(증명은 해석학 책에...)

부분합으로 표현하면 ($h_n(x):=\sum_{i=1}^n k_i(x)$) 위의 마지막 부등식은

 $|h_r(x)-h_s(x)|=|\sum_{i=1}^r k_i-\sum_{i=1}^s k_i|=|\sum_{i=r+1}^s k_i(x)|<\epsilon$ 이다.

Uniform이나 pointwise convergence가 보장되면 $h(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}h_n(x)=\sum_{i=1}^\infty k_i(x)$ 이다. 이제 마지막 3번 convergenceness에 대해 논의해보자:

 Definition 5. 함수열 $h_n(x)$는 만약 $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|h(x)-h_n(x)|^2dx=0$이면,

즉, $\forall \epsilon>0,\ \exists N(\epsilon)\in\mathbb{Z}\ s.t\ for\ n>N,\ \int_a^b|h(x)-h_n(x)|^2dx<\epsilon$ 이면 [a,b]에서 $h(x)$에 converges in the mean 이라고 한다.

급수의 경우 $\sum_{i=1}^\infty k_i(x)$는 만약 $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|h(x)-\sum_{i=1}^nk_i(x)|^2dx=0$이면 $h(x)$에 평균수렴한다고 말한다.

 uniform convergence $\rightarrow$ mean convergence를 보이는 것은 어렵지 않다:

수열이 uniform converge하면, $\forall\epsilon,\ \exists N\ s.t\ for\ n>N,\ |h-h_n|<\epsilon\ \forall x\in [a,b]$이므로 $\int_a^b|h-h_n|^2dx<\int_a^b\epsilon^2dx=\epsilon^2(b-a)$ 이다. 따라서 적분값은 임의로 작게 만들 수 있으므로 이것은 $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|h-h_n|^2dx=0$과 같은 statement이므로 mean convergence가 보장된다. 반면에 pointwise convergence는 mean convergence를 의미하지 않는다.

 

 평균수렴의 방법으로 completeness of an orthonormal set of functions가 정의된다.

Definition 6. $g(x)$를 Hilbert space의 임의의 함수라고 하자. 그리고 {${f_i(x)}$}를 Hilbert space의 an orthonormal set of functions라고 하자. 만약 부분합 $g_n(x):=\sum_{i=1}^n a_if_i(x)$의 수열이 $g(x)$에 평균수렴하게 만드는 constant coefficients {${a_i}$}가 존재한다면, {${f_i}$}를 complete orthonormal set이라고 한다. 같은말로, 만약 mean square error를 임의로 작게 만들 수 있다면, 즉, $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|g-g_n|^2dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|g-\sum_{i=1}^n a_if_i|^2dx=0$ 이면, {${f_i}$}를 complete orthonormal set of functions라고 한다.

* 계수 {$a_i$}는 n에 독립이다. 즉, n이 증가할수록 부분합의 항만 추가되고 이전 계수들은 영향을 받지 않는다.

평균수렴을 pointwise convergence와 구별하기 위해서 다음의 기호를 써서 나타내자:

$g(x)\doteq \sum_{i=1}^{\infty}a_if_i(x)$

 

 {$f_i$} 가 orthonormal set, $f$가 Hilbert space의 임의의 함수일 때 nonnegative quantity

$M_n=\int_a^b|f(x)-\sum_{i=1}^n a_if_i(x)|^2dx \geq 0$ 를 정의하자. 어떤 $a_i$ 값들이 $M_n$을 최소화 하는지 알고싶다. 먼저 위 식을 전개해보자:

$M_n=\int_a^b(f^*f-\sum_{i=1}^na_if^*f_i-\sum_{i=1}^na_i^*ff_i^*+\sum_{i,j=1}^n a_i^*a_jf_i^*f_j)dx$

$=(f,f)-\sum_{i=1}^na_ic_i^*-\sum_{i=1}^na_i^*c_i+\sum_{i,j=1}^n a_i^*a_jf_i^*f_j\delta_{ij}$ ($c_i:=(f_i,f)$) 이다.

여기에 $\sum_{i=1}^n|c_i|^2$를 더하고 빼면

$M_n=(f,f)+\sum_{i=1}^n|a_i-c_i|^2-\sum_{i=1}^n|c_i|^2\geq0$ 를 얻는다.

이로부터 $a_i=c_i$로 선택하면 $M_n$이 최소화 된다는 것을 알 수 있다. 그렇게 하면

$M_n=\int_a^b|f(x)-\sum_{i=1}^nc_if_i(x)|^2dx=(f,f)-\sum_{i=1}^n|c_i|^2\geq 0$ 를 얻고, 이것을 다시 쓰면

$(f,f)\geq\sum_{i=1}^n|c_i|^2=\sum_{i=1}^n|(f_i,f)|^2$ 이다.

$\sum_{i=1}^n|c_i|^2=s_n$ 으로 나타내면 이 수열은 임의의 복소수의 절댓값 제곱은 무조건 양수이므로 당연히 단조증가하며 부등식에 의해 $(f,f)$에 위로 유계임을 알 수 있다.

따라서 $(f,f)\geq\sum_{i=1}^\infty|c_i|^2$ 이다. 이 부등식은 Bessel's inequality로 알려져있다.

Orthonormal set {$f_i$}가 complete 한 것과 $\exists${$a_i$} s.t $\lim_{n\rightarrow\infty}M_n=0$ 인 것은 서로 필요충분조건이다. {$f_i$} 가 complete면 $a_i=c_i$이고 Bessel's inequality에서 등식이 성립한다.

 선형대수에서 complete한 n개의 벡터들의 집합의 특징들 중에 이 집합의 모든 벡터들에 직교하는 zero vector가 아닌 벡터는 존재하지 않는다는 것이 있었다. 함수공간에도 비슷한 정리가 있다. 

 Definition 7. Orthonormal functions의 집합은 만약 이 집합의 모든 함수들에 직교하는 nonzero function이 존재하지 않으면 closed라고 한다.

 Theorem 2. Hilbert space 안의 orthonormal functions의 집합이 complete $\leftrightarrow$ 그 집합이 closed.

Proof. $\rightarrow$: 귀류법을 쓰자. $\forall i,\ (f_i,f):=c_i=\int_a^bf_i^*(x)f(x)dx=0$인 normalized 된 nonzero function $f(x)$이 존재한다고 하자. 그러면 $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b|f-\sum_{i=1}^nc_if_i|^2dx=\int_a^b|f|^2dx=1\neq0$이므로 집합 {$f_i$}는 complete 하지 않다. 모순이 발생했으므로 가정은 틀린것이고 $\rightarrow$는 증명되었다.
$\leftarrow$: 귀류법을 쓰자. 만약 이것이 거짓이면 closed일때 completeness relation $(f,f)=\sum_{i=1}^\infty|(f_i,f)|^2$이 만족되지 않는 것이므로 $||f||^2>\sum_{n=1}^\infty|c_n|^2$ 인 어떤 함수 $f(x)$가 존재한다($c_n=(f_n,f)$). 하지만 이 무한급수는 수렴하므로, 수열 {$g_m(x)$} ($g_m(x)=\sum_{n=1}^mc_nf_n(x)$) 은 Hilbert space안의 Cauchy sequence이고, 따라서 space의 completeness에 의해서 $g_m(x)$는 반드시 space 안의 limit ($g(x)$라 부르자. 얘는 $c_n=(f_n,g)$ 만족한다.)에 평균수렴해야 한다. 따라서 $(f_n,g)=(f_n,f)$ 이므로 $(f_n,f-g)=0$ 이다. 즉, $\forall n,\ f(x)-g(x)$ 는 $f_n(x)$에 직교한다.

이제 $f(x)-g(x)$의 norm이 0이 아님을 보일 수 있다면 {$f_n(x)$}는 not closed가 되어 모순이 생기므로 정리가 증명된다.

 잘 알려진 부등식 $\|x-y\|\geq|\|x\|-\|y\||$ 을 사용하면

모든 m에 대해 $\|f-g\|=\|f-g_m-(g-g_m)\|\geq|\|f-g_m\|-\|g-g_m\||$ 를 얻는다. 이제 m을 무한대로 보내면

$\|g-g_m\|\rightarrow\infty$ 임을 알고 있고, 가정에 의해 모든 m에 대해 $\|f-g_m\|^2=\|f-\sum_{n=1}^mc_nf_n\|^2=\|f\|^2-\sum_{n=1}^m|c_n|^2>0$ 이므로 $\|f-g\|>0$ 이기 때문에 정리가 증명되었다.

 

 함수의 급수전개 표현의 유일성을 증명하는 것으로 이 절을 마치겠다.

먼저 Hilbert space의 함수는 주어진 complete orthonormal set of functions {$f_i$} 에 대한 expansion coefficients로 "almost everywhere" 에서 유일하게 결정됨을 보이자. 두 함수 $f\ and\ g$가 같은 전개계수를 가진다고 하자. 즉, $c_i=(f_i,f)=(f_i,g)$라고 하자. 그러면 $(f_i,f-g)=0$ 이므로 Theorem 2에 의해 $f-g=0$ 이고 따라서 $f=g$ 이다.

 이제 역을 생각해보자. 주어진 함수가 a unique set of expansion coefficients를 가질까? $\lim_{n\rightarrow\infty}\|f-\sum_{i=1}^nc_if_i\|=\lim_{n\rightarrow\infty}\|f-\sum_{i=1}^nd_if_i\|=0$ 을 가정하자. 즉, 같은 함수 $f$에 평균수렴하는 서로 다른 전개계수를 갖는 두개의 부분합이 존재한다고 하자. 만약 전개계수가 유일하다면 $c_i=d_i$일 것이다. 이것을 증명하기 위해서는 삼각부등식을 사용해서

$\|\sum_{i=1}^nc_if_i-\sum_{i=1}^nd_if_i\|=\|\sum_{i}c_if_i-f+f-\sum_{i}d_if_i\| \leq \|f-\sum_{i}c_if_i\|+\|f-\sum_{i}d_if_i\|$ 의 부등식을 보일 수 있고, 주어진 임의의 $\epsilon$에 대해서 가정에 의해 이 부등식의 마지막 두 norm이 $\epsilon/2$보다 작게끔 큰 n을 선택 할 수 있으므로, 이러한 n에 대해 

$\|\sum_{i}c_if_i-\sum_{i}d_if_i\| =\|\sum_{i}(c_i-d_i)f_i\|=[\sum_{i}(c_i-d_i)^2]^{1/2}<\epsilon$ 이 만족되는데, 이 부등식은 $c_i=d_i$이어야만 참이 되므로 주어진 함수에 대한 전개계수는 유일하다.

 

3. The Dirac $\delta$-function

원래 함수란 숫자와 숫자를 대응시키는 규칙이다. 물리에서 쓰이는 $\delta$-function은 이런 의미의 함수가 아니라 계산을 단순화시키기 위한 용도의 어떤 복잡한 process를 나타내는 축약된 표기법이다. 델타함수는 적분속에서 나타났을때만 의미를 가지고, 다음과 같은 효과를 준다:

 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta(x)dx=f(0)$.

이것의 특수 케이스로써 $f(x)=1$ 인 경우에는 

 $\int_{-\infty}^{\infty}\delta(x)dx=1$.

Singular point가 임의의 x에 위치해있을때는

 $\int_{-\infty}^{\infty}f(x')\delta(x'-x)dx'=f(x)$.

Singular point x=0을 제외한 곳에서는 $\delta(x)=0$ 이다. 따라서 $\delta(x)$는 한 점을 제외한 모든 영역에서 보통의 함수처럼 행동한다. 말할필요도 없이 이 점 근방에서의 behavior가 가장 중요하다.

 한 점을 제외한 곳에서 0이 아니고 나머지 영역에서는 모두 0인 실수함수는 그 특이점에서의 함수값이 무엇이던간에 무조건 적분값이 0이다. 따라서 위와 같은 성질을 만족하는 "함수"는 존재하지 않는다. 따라서 위의 식들은 다음의 과정들을 기호로써 나타내는 것으로 해석해야 한다:

 $\delta_{\alpha}(x)$ 를 index $\alpha$로 매개화 되고 다음의 성질을 갖는 함수들의 집합이라고 하자:

$\lim_{\alpha\rightarrow0}\delta_{\alpha}(x)=0\ \forall x\neq0$,

$\lim_{\alpha\rightarrow0}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\delta_\alpha(x)dx=f(0)$.

이전의 식들은 "$\lim_{\alpha\rightarrow0}\delta_\alpha(x)$" 를 $\delta(x)$로 표기한다고 하고, 일반적으로는 성립하지 않지만 극한과 적분의 순서교환이 가능하다면, 말이 된다. 델타함수를 정의하는 이전의 식들은 반드시 위처럼 limiting processes로써 해석되어야 한다.

 이러한 성질들을 만족하는 4가지의 대표적인 함수들의 집합들을 살펴보자.

1. $\delta_c(x):=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{c} \quad \textrm{for}\ |x|\leq\frac{c}{2}, \\  0 \quad \textrm{for}\ |x|>\frac{c}{2}. \end{matrix}\right.$ (c>0)

일단 $x\neq0$에서 $\lim_{c\rightarrow0}\delta_c(x)=0$ 임은 분명하다. 그리고 c와 무관하게 $\int_{-\infty}^{\infty}\delta_c(x)dx=1$이다. 함수 $\delta_c(x)$는 모든 $c\neq0$에 대해 정의되고,

극한 $\lim_{c\rightarrow0}\int_{-\infty}^{\infty}\delta_c(x)dx$ 도 정의되며 1과 같다.

또한 $\lim_{c\rightarrow0}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta_c(x)dx=f(0)$ 인데, 이것은 임의의 연속함수 $f(x)$에 대해 다음과 같은 방법으로 보일 수 있다:

$\lim_{c\rightarrow0}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta_c(x)dx=\lim_{c\rightarrow0}\int_{-c/2}^{c/2}f(x)\delta_c(x)dx=\lim_{c\rightarrow0}\frac{1}{c}\int_{-c/2}^{c/2}f(x)dx;$

integral calculus의 MVT를 이용하면 

$\int_{-c/2}^{c/2}f(x)dx=f(\xi c)\int_{-c/2}^{c/2}dx=cf(\xi c),\qquad -1/2<\xi<1/2$ 임을 알 수 있고, 

$c\rightarrow0$으로 보내면 원하던

$\lim_{c\rightarrow0}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta_c(x)dx=f(0)$ 를 얻는다.

 

2. $\delta_\alpha(x):=\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-x^2/a^2}$

이 가우시안 분포 함수열에 대해

$\lim_{a\rightarrow0}\delta_a(x)=0 \qquad \textrm{for all}\ x\neq 0;$

$\int_{-\infty}^{\infty}\delta_a(x)dx=1,\qquad \textrm{independent of a};$

$\lim_{a\rightarrow0}\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\delta_a(x)dx=f(0)$

가 성립한다. 적분의 contribution은 $a\rightarrow0$임에따라 $x=0$근방에서만 발생한다. 따라서 symbolically,

$\delta(x)=\lim_{a\rightarrow0}\delta_a(x)=\lim_{a\rightarrow0}\frac{1}{a\sqrt{\pi}}e^{-x^2/a^2}$ 로 쓸 수 있다.

 

3. $\delta(x)=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\delta_\epsilon(x):=\lim_{\epsilon\rightarrow0}\frac{1}{\pi}\frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}$

맨 우측 극한 안의 함수열이 sine 함수의 라플라스 변환꼴이라는 것에 주목하자.

 

4. $\delta_n(x):=\left\{\begin{matrix}  c_n(1-x^2)^n \quad \textrm{for}\ 0\leq|x|\leq1, \qquad n=1,2,3,..., \\0  \quad \textrm{for}\ |x|>1.  \end{matrix}\right.$

이 함수열은 Weierstrass's theorem 증명에 중요한 역할을 한다. 여기서 상수 $c_n$은 함수열의 적분값이 1이 되도록(normalized 되도록) 선택한다:

$1/c_n=\int_{-1}^1(1-x^2)^ndx=2\int_0^1(1-x^2)^ndx$.

$x=\sin\theta$로 변수변환하자. 그러면 

$1/c_n=2\int_0^{\pi/2}\cos^{2n+1}\theta d\theta=\frac{2^{n+1}n!}{1\cdot3\cdot5\cdots (2n+1)}\rightarrow c_n=\frac{(2n+1)!}{2^{2n+1}(n!)^2}$ 를 얻는다.

$n\rightarrow\infty$일 때 $c_n$이 어떻게 행동할 지 분명하지 않으므로

부등식을 이용해서 한번 분석해보자.

$1/c_n=2\int_0^1(1-x^2)^ndx\geq2\int_0^{1/\sqrt{n}}(1-x^2)^ndx,\ (\because 1/\sqrt{n}\geq1\ \textrm{for all}\ n=1,2,...,$ 그리고 피적분함수가 [0,1] 에서 양수이므로.) 이다.

모든 n에 대해서, $(1-x^2)^n\geq1-nx^2$가 모든 $x\in [0,1]$에 대해서 성립함을 보이자.

함수 $g(x):=(1-x^2)^n-(1-nx^2)$를 고려해보자. $g(0)=0$이고 모든 $0<x\leq1$에 대해서 $g'(x)=2nx[1-(1-x^2)^{n-1}]>0$ 이므로 $g(x)$는 구간 [0,1]에서 반드시 단조증가이다. 따라서 [0,1]에서 $g(x)\geq0$이므로 원하던 것이 증명되었다. 이 부등식을 사용하면 $1/c_n=2\int_0^{1/\sqrt{n}}(1-nx^2)dx=\frac{4}{3\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n}}$ 이므로

$c_n<\sqrt{n}$ 이다.

n이 커질수록 적분 $\int_{-1}^1\delta_n(x)dx$의 값에 미치는 원점 근방의 영향이 커진다.

이것을 보이려면 우선 $\delta_n(x)$가 $x$의 우함수임을 생각하면 임의의 $0<\delta<1$에 대해

$\int_{-1}^{-\delta}\delta_n(x)dx=\int_{\delta}^1\delta_n(x)dx$임을 알 수 있고,

$c_n<\sqrt{n}$이며 함수 $(1-x^2)^n$은 $x=\delta$에서 최댓값을 가지므로 적분 $\int_{\delta}^1 (1-x^2)^ndx$는

높이 $(1-\delta^2)^n$, 밑변 $(1-\delta)$인 사각형 안에 유계된다. n이 무한대로 가면 $(1-\delta^2)^n$ 항이 $\sqrt{n}$ 항을 이기므로 $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{\delta}^1\delta_n(x)dx=0$이다. $\delta_n(x)$는 연속이고 항상 non-negative 이므로 $0<x\leq1$에서 $\lim_{n\rightarrow\infty}\delta_n(x)=0$이다. 이미 $\int_{-1}^1\delta_n(x)=1$이 되도록 $c_n$을 선택했으므로 $\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-1}^1f(x)\delta_n(x)dx=f(0)$ 를 얻는다.